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1. 例子与问题的提出(Examples and formulation of the question)

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傅立叶系数的定义

首先我们定义一个函数的傅立叶系数为:

$$ \hat{f}(n)= a_n=\frac{1}{L}\int_0^Lf(x)e^{-2\pi inx/L}\ dx,\ \ \text{for}\ n \in \mathbb{Z} $$

其中 $f$ 是一个定义在 $[0,L]$ 上的复数值函数. 要想使得上面的式子有意义, 我们要求 $f$ 有一定的可积性, 于是自此我们约定此后所有的函数都是 $Riemann$-可积 的.

下面我们列举一些函数的类型, 其一般性逐渐递增.

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处处连续的函数

这里我们指的是那些处处连续的复数值函数. 一个典型的连续实值函数如下图所示:

之后我们会看到, 一个圆上的连续函数满足 $f(0)=f(\pi)$.

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分段连续的函数