— 傅立叶一笑,生死难料.

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0. 综述(Introduction)

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傅立叶分析的故事始于物理, 它脱胎于对两种物理对象的探索:振动的弦(vibrating string), 和热流(heat flow). 统治着相关物理现象的规律被表达为两种偏微分方程: 波动方程(wave equation)和热方程(heat equation)—而它们都可以被傅立叶级数所解.

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要介绍傅立叶分析的起源, 要做的无非是考察这两个源头.

对于 [振动的弦], 我们分三步走:

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1. 首先要考察一些物理学中的概念, 这将引出其对应数学概念, 而这些数学概念在后面的工作中将会发挥重要的作用. 具体来说,它们是:
   1. [简谐运动(simple harmonic motion)———三角函数(cos(t), sin(t), e^(it))]
   2. [驻波(standing waves)——分离变量(separation of variables)]
   3. [音调的叠加(superposition of tones)——线性性(linearity)]
2. 然后我们要推导出波动方程(wave equation).
3. 最后, 我们将用我们从先前的问题中学到的, 用数学所表达的物理学本质(physicial nature)来解出这个方程(solve the equation). </aside>

对于 [热流] 的探索, 我们遵循类似的方式.

接下来我们的旅途将正式开始.

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1. 振动的弦(Vibrating String)